等比數(shù)列前n項和公式推導過程

等比數(shù)列前n項和公式是怎么推導的？想必許多同學對這個問題存有疑惑。下面，就跟小編一起來看看吧。

等比數(shù)列前n項和公式如何推導

等比數(shù)列前n項和公式：Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。

推導如下：

因為an=a1q^(n-1)

所以Sn=a1+a1*q^1+...+a1*q^(n-1)(1)

qSn=a1*q^1+a1q^2+...+a1*q^n(2)

（1）-（2）注意（1）式的第一項不變。

把（1）式的第二項減去（2）式的第一項。

把（1）式的第三項減去（2）式的第二項。

以此類推,把（1）式的第n項減去（2）式的第n-1項。

（2）式的第n項不變,這叫錯位相減,其目的就是消去這此公共項。

于是得到

(1-q)Sn=a1(1-q^n)

即Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。

等比數(shù)列前N項和的性質

1、若m、n、p、q∈N*，且m＋n=p＋q，則am*an=ap*aq；

2、在等比數(shù)列中，依次每k項之和仍成等比數(shù)列。“G是a、b的等比中項”“G^2=ab（G≠0）”；

3、若（an）是等比數(shù)列，公比為q1，（bn）也是等比數(shù)列，公比是q2，則（a2n），（a3n）…是等比數(shù)列，公比為q1^2，q1^3…（can），c是常數(shù)，（an*bn），（an/bn)是等比數(shù)列，公比為q1，q1q2，q1/q2；

4、按原來順序抽取間隔相等的項，仍然是等比數(shù)列；

5、等比數(shù)列中，連續(xù)的，等長的，間隔相等的片段和為等比；

6、若（an）為等比數(shù)列且各項為正，公比為q，則（log以a為底an的對數(shù)）成等差，公差為log以a為底q的對數(shù)；

7、等比數(shù)列前n項之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1)(8)數(shù)列{An}是等比數(shù)列，An=pn+q，則An+K=pn+K也是等比數(shù)列，在等比數(shù)列中，首項A1與公比q都不為零.注意：上述公式中A^n表示A的n次方；

8、由于首項為a1，公比為q的等比數(shù)列的通向公式可以寫成an*q/a1=q^n，它的指數(shù)函數(shù)y=a^x有著密切的聯(lián)系，從而可以利用指數(shù)函數(shù)的性質來研究等比數(shù)列。

等比數(shù)列前n項和函數(shù)特性

|an=a1.q^bai(n-1)

Sn=a1+a2+...+an

=a1(1+q+q^2+...+q^n)

=a1(1-q^n)/(1-q)

Note:(1-q)(1+q+q^2+...+q^n)=1-q^n

|q|<1

S(∞du)

=lim(n->∞)Sn

=lim(n->∞)a1(1-q^n)/(1-q)

=a1/(1-q)