2024全國甲卷高考理科數(shù)學(xué)試題

絕密★啟用前

2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

全國甲卷理科數(shù)學(xué)

使用范圍：陜西、寧夏、青海、內(nèi)蒙古、四川

注意事項(xiàng)：

1．答題前，務(wù)必將自己的姓名、考籍號(hào)填寫在答題卡規(guī)定的位置上．

2．答選擇題時(shí)，必須使用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．

3．答非選擇題時(shí)，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上．

4．所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效．

5．考試結(jié)束后，只將答題卡交回．

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．

1. 設(shè)，則（    ）

A.  B.  C. 10 D.

2. 集合，則（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 若實(shí)數(shù)滿足約束條件，則的最小值為（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（    ）

A.  B.  C. 1 D. 2

5. 已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（    ）

A 4 B. 3 C. 2 D.

6. 設(shè)函數(shù)，則曲線在處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為（   ）

A.  B.  C.  D.

7. 函數(shù)在區(qū)間的大致圖像為（    ）

A  B.

C.  D.

8 已知，則（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 已知向量，則（    ）

A. “”是“”的必要條件 B. “”是“”的必要條件

C. “”是“”的充分條件 D. “”是“”的充分條件

10. 設(shè)是兩個(gè)平面，是兩條直線，且.下列四個(gè)命題：

①若，則或          ②若，則

③若，且，則       ④若與和所成的角相等，則

其中所有真命題的編號(hào)是（    ）

A ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④

11. 在中內(nèi)角所對(duì)邊分別為，若，，則（    ）

A.  B.  C.  D.

12. 已知b是的等差中項(xiàng)，直線與圓交于兩點(diǎn)，則的最小值為（    ）

A. 2 B. 3 C. 4 D.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．

13. 的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)的最大值是______．

14. 已知甲、乙兩個(gè)圓臺(tái)上、下底面的半徑均為和，母線長分別為和，則兩個(gè)圓臺(tái)的體積之比______．

15 已知，，則______．

16. 有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6，從中不放回地隨機(jī)抽取3次，每次取1個(gè)球.記為前兩次取出的球上數(shù)字的平均值，為取出的三個(gè)球上數(shù)字的平均值，則與差的絕對(duì)值不超過的概率是______．

三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．第17題~第21題為必考題，每個(gè)考題考生必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．

（一）必考題：共60分．

17. 某工廠進(jìn)行生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造，升級(jí)改造后，從該工廠甲、乙兩個(gè)車間的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取150件進(jìn)行檢驗(yàn)，數(shù)據(jù)如下：

（1）填寫如下列聯(lián)表：

能否有的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異？能否有的把握認(rèn)為甲，乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異？

（2）已知升級(jí)改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率，設(shè)為升級(jí)改造后抽取的n件產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率.如果，則認(rèn)為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了，根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了？（）

附：

18. 記為數(shù)列的前項(xiàng)和，且．

（1）求的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和為．

19. 如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，，，，為的中點(diǎn)．

（1）證明：平面；

（2）求二面角的正弦值．

20. 設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，且軸．

（1）求的方程；

（2）過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，證明：軸．

21. 已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；

（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍．

（二）選考題：共10分，請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，并用2B鉛筆將所選題號(hào)涂黑，多涂、錯(cuò)涂、漏涂均不給分，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．

[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]

22. 在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）寫出的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)直線l：（為參數(shù)），若與l相交于兩點(diǎn)，若，求的值.

[選修4-5：不等式選講]

23. 實(shí)數(shù)滿足．

（1）證明：；

（2）證明：．